关于《直线、平面、简单几何体》[1]的几点思考
□ 潘亚奎

一、对传统立体几何内容改革的必要性和可行性。
1、改革的内容及必要性
全日制普通高级中学教科书(试验修订本·必修)对数学第二册(下B)第九章（下简称九(B)）的编写围绕一个中心，形成一条主线，突出一个重点，即以向量为中心，性质为主线，重点培养学生用代数的方法解决立体几何的能力。
⑴编排系统和内容的调整及必要性
1)九(B)内容的编写以性质为主线展开。旧教材在立体几何的编写上是以“元素的位置关系”为主线进行展开的，而新教材以“性质为主线”的编排，可使学生较深刻地掌握空间图形以及性质之间的内在联系，更符合认知规律，有利于培养学生的空间概念、空间想象能力和逻辑思维能力。
2)简化几何内容，突出相应的数学思想和文化功能。旧教材的“直线与平面”需28课时，“多面体与旋转体”需29课时。而九(B)中的“直线与平面”只需25课时，“多面体与球”只需14课时，可见九(B)简化了用处不大的几何内容。同时九(B)还渗透了近代的数学思想和文化功能。如用向量知识解决空间角与距离问题，用“分割、求和、逼近”的方法对球的两个公式进行推导，这也是求几何度量公式时的一般性数学方法。用欧拉公式研究化学中的C60等。
3)改革部分空间图形的定义，注重揭示概念的内涵。定义是揭示概念内涵的逻辑方法。中学数学中，常见的定义方式有属加种差定义、发生式定义、关系式定义、外延定义、结构定义、约定式定义、递归定义等。九(B)对“平行六面体”、“球”、“球面”的定义改变过去的“属加种差定义”，而采用现在的“发生式定义”，并不是一时冲动，而是从科学性角度考虑的。
4)调整教学要求，体现了“以学生发展为本”。
九(B)对“线、线，线、面，面、面的位置关系”及“三垂线定理及逆定理”的教学要求从过去的“理解”调整为现在的“了解”。添加向量内容，并要求掌握向量的概念、运算及应用。降低了对“形到形”的综合推理能力的要求，重视代数推理能力的提高，适应了几何代数化的时代潮流，丰富了学生思维结构，真正体现了“以学生发展为本。”
⑵引入向量改革立体几何教学的必要性
1)几何发展的根本出路是代数化。几何历史的发展，大概经历了实验几何、综合推理几何、三角学和解析几何四个阶段[2]。引入向量，建立空间的向量结构为空间解析几何奠定了理论基础，为使用代数方法研究几何找到了强有力的工具，因此引入向量是几何代数化的需要。我国初中已安排了综合推理几何，高中几何代数化的时机已成熟。同时学会用向量研究立体几何，这是当前世界各国基础数学教育应该达到的水平，也为以后的学习打下了坚实的基础。因此九(B)的编写顺应了几何改革代数化的要求。
2)对中学生而言向量是研究几何的有效方法。研究几何的代数方法有多种，如面积和体积计算，质点组几何，笛卡尔时代的坐标几何，向量几何等。其中被实践证明对中学生较为有效的方法是向量几何[3]。因为向量实际上是把几何中一个最基本的几何量——“两点的相对位置（位移）”代数化，从而就把空间图形的基本性质转化为向量代数体系，达到空间性质研究的代数化。
3)建立向量几何可以丰富学生的思维结构和运算体系。建立向量几何，重点是培养学生用代数的方法解决立体几何问题的能力，把几何综合推理和向量代数化运算有机地结合起来，为学生的思维活动开发了更加广阔的天地，同时向量是不同于数的一个运算体系，掌握了向量运算，就会扩充学生对“运算”要领 理解，丰富学生的运算体系，为以后学习其他运算体系奠定基础。
4)向量应用的广泛性。实践证明向量在科技、经济及日常生活多个领域都有着广泛的应用，对高中物理有它很重要的应用价值，同时对大学数学和物理的学习会有更多的帮助。
2、改革的可行性
⑴次序和内容的调整更符合认知规律
1)次序的调整更有利于学生的可接受性。本着先易后难，先简单后复杂的考虑，把原高一学习的立体几何改为在高二学习，且先学习解析几何 ，后学习立体几何，这样的安排大大降低了学习立体几何的难度。
2)内容的调整更有利于学生把握知识的正迁移。知识的学习过程，用建构主义的观点来看，是已有认知结构重新建构的过程。当新的知识进入大脑时，如果能够将原有认知结构纳入新的认知结构，就会产生正迁移。倘若新旧知识发生冲突时，将新的知识简单并入原有的认知结构中就会产生负迁移。九(B)在学习完平面的基本性质后，以平行公理为基础，先研究“平行系统”，后研究“垂直系统”，有利于学生用好平面几何“平行系统”的正迁移，避免平面几何“垂直系统”的负迁移，大大提高了学生的学习效率。
⑵引入向量学习立体几何的可行性
学生在高一已学习了平面向量，用类比的学习方法，稍加推广就可得到空间向量的运算体系。使用空间向量处理立体几何问题，不仅不会增加学生的负担，相反，由于学生掌握了一套有力的工具反而会降低学习的难度，减轻学生的负担。因为在立体几何中使用“形到形”的推理方法，由于空间图形的复杂性，一般没有规律可寻，比较难学。
二、九(B)的几个特点
1、更加有趣、有用。如用“太阳光线把一个长方形形状的窗框投射到地板上，变成平行四边形的形状”来引入空间图形的直观图，用“小鸟飞翔”引入向量，这样能激发学生学习数学的兴趣。用“分割、求和、逼近”的方法对球的两个公式进行推导，力求渗透有用的近代数学思想方法。把旧教材中习题的结论：cosθ=cosθ1·cosθ2通过证明作为定理，体现了公式cosθ=cosθ1cosθ2的应用价值。
2、更加理性。如“过一点有且只有一条直线和一个平面垂直”和“任意两条异面直线有且只有一条公垂线”旧教材只“写”未“证”，九(B)先“证”后“写”；九(B)先有“线、面平行的判定定理”，再讲“线、面平行的作图”，体现了“作”应有据；九(B)先有最小角原理，再有线、面成角的定义，注重揭示概念的内涵。
3、语言叙述更加合理、规范和简练。如线、面垂直的定义补充了“如果一条直线和一个平面相交”这一条件，对“射影”的定义揭示了“正射影”的内涵。二面角的定义比旧教材定义更能揭示二面角的内涵，且指出二面角的范围是0°~180°；用“充要条件”的形式来叙述“三垂线定理及逆定理”、“平面与平面垂直”；用集合语言叙述公理2。
4、重点更加突出。空间角与空间距离是立体几何的重点，旧教材把空间角、空间距离分散编在各章，不利于学生抓住重点。九(B)把空间角、空间距离集中编在第3大节，并引导学生用向量这一工具解决空间角和空间距离，使学生的学习更能抓住重点。同时向量也能解决线、线垂直与平行，线、面垂直与平行，面、面垂直与平行的判定与性质等众多问题，这样让学生在解决问题的过程中，提高用代数方法解决立体几何问题的能力，并充分认识到立几代数化的重要性。
5、可接受性强。按照建构主义的观点来说，学生只要把高一学的平面向量体系，迁移到空间并稍加推广就能形成空间向量体系，并且此时学生已学习了平面解析几何，已有代数方法解决几何问题的经验，所以九(B)以向量为中心的编写符合认知规律，学生可接受性强。

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