例题教学尚需重视的几个问题
浙江省宁海中学 金富军 315600
复习圆锥曲线一节内容时，我曾讲过一个有趣的例题。
例1、若圆x2+y2=9上有且只有二点到直线 l：y=3x+b(b>0)的距离为1，求b的取值范围。
分析：设 l'是与 l 平行且与圆相切
的直线(如图)
利用2<d<4或d'<1均可求解。
象这样传统的传授学生基础知识、基本方法、
基本技能外，还须加强哪些方面的教学？怎么教？如何最大限度地发挥例题效能？如何发挥学生自主探究的意识？如何提高学生的创新精神和实践能力？已成为我们每一个数学教学工作者思考和关心的共同问题。
一、例题教学应重视网络技术的应用
现代网络技术的高速发展，特别是多媒体与计算机的广泛应用，为我们数学教学改革创造了有利条件。运用多媒体技术辅助例题教学，不仅给学生以强烈的感官享受和美的熏陶，而且易使学生迸出智慧的火花。
考虑到直线 l：y=3x+b随b的变化，图形构成一组平行直线，为了增强学生直观感与视觉效果，更好地启发学生寻求解决问题的突破点，我运用多媒体让直线动起来，随之带动圆心到直线的距离d（或d'）发生变化，如图1、图2。通过师生互动，生生互动，共同探讨研究，逐步揭示d（或d'）与满足条件的点数的对应关系，再通过函数式d=f(b)(或d'=f(b))建立不等关系加以突破。
图1 图2
二、例题教学应重视情智的培养
我这里讲的情智，指的是学生的情感与智能(或思维)。教师在讲评例题时应充分调动学生的学习兴趣和探索问题的热情，让学生积极动脑、动口、动手，并对学生的点滴进步都给予不同程度的赞赏或肯定，不断增强师生之间、同学之间的情感交流，达到以情促智、以智增情、情智一体的目的，努力营造一个民主、平等、和谐的学习环境，使学生在快乐、研究的过程中学习。
下面我把讲评例1的简要过程介绍给大家。（学生素质不错）
屏幕显示例1，让直线由静变动，并让学生观察、思考、讨论若干分钟。
师：哪位同学能谈谈本题的解题思路？
甲：要使圆上有且只有二点到直线的距离为1，只要保证圆心到直线的距离d大于2即可。（并上来板演说明）
师：请坐下。甲同学把本题转化为距离来求，这个想法很好！（予以赞赏）。但是否有漏洞或不完善的地方呢？
这下同学们议论开了，有的提笔凝思，有的跃跃欲试。
师：同学们讨论很激烈，并能大胆发表各自的意见，提出解决问题的不同方法，这种良好的学习态度，才是我们学好数学的基础。好，下面我请同学乙回答(乙已举手)。
乙：同学甲解法有漏洞，圆心到直线的距离应大于2小于4。（板演说明）
师：乙同学弥补了甲同学的不足，使问题得到圆满解决，对此我们表示祝贺。（师生鼓掌）
师：本题是否还有其它解法？
正沉浸在兴奋中的同学又投入对问题的研究中。
丙：作一条与圆相切且与 l 平行的直线 l'，并求出 l'与 l 的距离d'，再利用d'<1求之。（同样板演说明）
师：丙同学用另外一种方法求解本题，思路新颖，富有创造性，值得大家学习。
……
三、例题教学应重视知识的迁移
介绍完例1的解题方法与解题过程，我并未到此结束，又把问题进行了推广、引申（多媒体演示）。
问题一：已知椭圆 上有且只有二点到直线 l：y=3x+b的距离为1，求b的取值范围。
问题二：已知双曲线 上有且只有二点到直线 l：y=3x+b(b>0)的距离为1，求b的取值范围。
问题三：已知圆x2+y2=9上到直线 l：y=3x+b(b>0)的距离为1的点至少有一个，求b的取值范围。
在解决上述问题的过程中，课堂气氛异常活跃，可谓高潮叠起。象这样结合学生的个性特点和认知规律，通过一系列类比，使问题由浅入深，不断迁移，既给了学生广阔的想象空间，也提高了学生研究、解决问题的能力。
四、例题教学应重视问题的再发现
美国心理学家布鲁诺(J·S·Bruner)曾经强调说：“教学就是引导学习者通过一系列有条不紊地陈述一个问题或大量知识，以提高他们对所学事物的掌握、转换和迁移的能力。”其目的在于培养学生鼓励学生利用教师或教材提供的材料，让学生自己学会发现，乐于发现，善于发现，并鼓励学生大胆提问，大胆质疑、大胆创新，努力成为一个发现者。因此，教师在例题教学过程中，尽可能和学生一起对问题进行探索、归纳、演绎、类比，根据问题提供的信息，鼓励学生发现问题的特点和规律，并找到解决的方法，从中获得成功的快感。
通过对例1及其余三个问题的研究，结果发现中心在原点，坐标轴为对称轴的二次曲线有下面几个非常重要的结论：
结论一：已知椭圆 和直线 l：y=kx+b(b>0)相交，l'、l''是与 l 平行的椭圆的二切线，若l'、l''与 l 的距离分别为d'、d''(d'<d'')，椭圆上到直线 l的距离为d的点的个数为n，则
共2共 1 2 下一页
