重视数学直觉思维的培养
浙江省宁海中学    李美君

中学数学教学大纲（试验修订本）将培养学生的三大能力之一“逻辑思维能力”改为“思维能力”，虽然只是去掉两个字，概念的内涵却更加丰富。在注重逻辑思维能力培养的同时，还应该注重观察力、直觉力、想象力的培养，特别是直觉思维能力的培养由于长期得不到重视，学生在学习的过程中对数学的本质容易造成误解，认为数学枯燥乏味、难学。
简单的说，数学直觉是具有意识的人脑对数学对象（结构及其关系）的某种直接的领悟和洞察。伊思·斯图加特说：“直觉是真正的数学家赖以生存的东西”。许多重大的发现都是基于直觉。欧几里得几何学的五个公设都是基于直觉，从而建立起欧几里得几何学这栋辉煌的大厦，哈密顿在散步路上迸发出构造四元素的火花等等。直觉思维能力要从小开始培养，高考已有此导向，如2003年全国高考理工类第21题：已知常数a>0，在矩形ABCD中，AB=4 ，BC=4a ，0为AB的中点 ，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且       =       =       ，P为GE与OF的交点（如图），
问是否存在两个定点，使P到这两点的距
离和和为定值？若存在，求出这两点的坐
标及此定值；若不存在，请说明理由。
大多数考生，不知所云，无处入手，主要是缺乏直觉思维能力。根据题设条件：“是否存在两定点，使得点P到两定点距离的和为定值”，考生应凭直觉可知P点轨迹可能为椭圆，故把命题转化为根据已知条件求P点轨迹，问题迎刃而解！一个人的数学思维，判断能力的高低主要取决于直觉思维能力的高低。徐利治教授指出："数学直觉是可以后天培养的，实际上每个人的数学直觉也是不断提高的。"数学直觉是可以通过训练提高的。那么直觉思维如何培养呢？
⑴扎实的基础是产生直觉的源泉
直觉不是靠"机遇"，直觉的获得虽然具有偶然性，但决不是无缘无故的凭空臆想，而是以扎实的知识为基础。若没有深厚的功底，是不会进发出思维的火花的。阿提雅说："一旦你真正感到弄懂一样东西，而且你通过大量例子以及通过与其它东两的联系取得了处理那个问题的足够多的经验．对此你就会产生一种关于正在发展的过程是怎么回事以及什么结论应该是正确的直觉。"
考生对上述高考题不知所措是对数学的本质没有真正搞懂，形成经验。1998年全国高考理工类第21题：如右图，直线l1和l2
相交于点M，l1⊥l2, 点N∈l,以A、B为立高点的曲线
段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等 。若
△AMN为锐角三角形，|AM|=       ，|AN|=3且|BN|=6，
建立适当的坐标系，求曲线段C的方程，此题中到
定点的距离等于到定直线的距离凭直觉可知该轨迹为抛物线，再如跟两个定点距离有关问题，到一个定点的距离跟到一条定直线的距离都应凭直觉猜想到圆锥曲线。
⑵注意诱发学生的灵感
灵感是一种直觉思维。它大体是指由于长期实践，不断积累经验和知识而突然产生的富有创造性的思路。它是认识上质的飞跃。灵感的发生往往伴随着突破和创新。
在教学中，教师应及时捕捉和诱发学生学习中出现的灵感，对于学生别出心裁的想法，违反常规的解答，标新立异的构思，哪怕只有一点点的新意，都应及时给予肯定。同时，还应当应用数形结合、变换角度、类比形式等方法去诱导学生的数学直觉和灵感，促使学生能直接越过逻辑推理而寻找到解决问题的突破口。例如：如图，
将平面四边形折成空间四边形，当平
面四边形满足条件——是，空间四边
形中的两条对角线互相垂直（注：填
上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形）
⑶设置直觉思维的意境和动机诱导
这就要求教师设置直觉思维的意境，鼓励、爱护、扶植学生的自发性直觉思维。例题：如图所示，A、B是两个定点，且|AB|=2，幼点M到A点的距离为4，线段MB的垂直平分线P高，MA于点P，直线K垂直于直线AB，且B点到直线K的距离为3。①求证：点P到点B的距离与点P到直线K的距离之比为定值。②若P点到A、B两点的距离之积为M，当M取最大值时，求P点的坐标。鼓励学生大胆猜想与A、B两点有关问题可能是椭圆、双曲线，故所证点P到点点B的距离与点P到直线K的距离之比的定值应为离心率e，再从中总结经验，掌握数学的本质。
⑷鼓励学生大胆猜想
经过观察和初步试验，在部分材料的基础上，对结论作大胆的猜想，是直觉思维中一种重要的思维形式，可以使我们的思想出现飞跃。虽然猜想不一定正确，但对于确定证明方向，发现新的定理，却有着重大意义最著名的例子，就是歌德巴赫猜想：“任何大于或等于6的整数，都可以表示成两个奇素数之和”这个猜想是根据实验得出来的：6=3+3，8=3+5，10=5+5，12=5+7，等等
直觉思维是对思维对象从整体上考察，调动自己的全部知识经验，通过丰富的想象作出的敏锐而迅速的假设，猜想或判断，它省去了一步一步分析推理的中间环节，而采取了“跳跃式”的形式。它是一瞬间的思维火花，是长期积累上的一种升华，是思维者的灵感和顿悟，是思维过程的高度间化，但是它却清晰的触及到事物的“本质”。同时要明知直觉思维与逻辑思维同等重要，偏离任何一方都会制约一个人思维能力的发展。伊思·斯图尔特曾经说过这样一句话：“数学的全部力量就在于直觉和严格性巧妙的结合在一起，受控制的精神和富有灵感的逻辑。”